Graphes de polyèdres convexes

      
graphe de Herschel - polyèdre de Herschel - vue en perspective

Soit un polyèdre convexe (P) de centre O dans un repère Oxyz tel que Oz soit l'axe de l'une des face.
On considère un point S de coordonnées(0,0,H) et la projection conique de sommet S du polyèdre sur un plan horizontal d'équation z = z0.
On peut choisir H et z0 de telle façon que les projections des arêtes de (P) ne se croisent pas.
Evidemment un cycle hamiltonien de (P) se projette en un cycle hamiltonien du graphe.
     

I. Quelques polyèdres convexes et un graphe associé

Tétraèdre et son graphe

Tétraèdre tronqué et son graphe

Cube et son graphe

Cube tronqué et son graphe

Octaèdre et son graphe

Octaèdre tronqué et son graphe

Dodécaèdre et son graphe

Dodécaèdre-tronque et son graphe

Cuboctaèdre et son graphe

Icosidodécaèdre et son graphe

II. Polyèdres associés au graphe de Herschel

	O(0,0,0) est le centre du repère orthonormé Oxyz, l'axe Ox sur (S11,S7) avec S11 en O. (S1,S2,S3,S3) sont les sommets d'un carré sur le cercle de rayon r1, (S5,S6) diamétralement opposés sur le cercle de rayon r2, (S8,S8) diamétralement opposés sur le cercle de rayon r3, (S9,S10) diamétralement opposés sur le cercle de rayon r4.
Considérons le graphe de Herschel situé dans le plan (P) d'équation z=0 dont les sommets sont notés Si pour i variant de 1 à 11. On considère la projection conique de sommet S(0,0,H) avec H >0. Les points Pi étant les relèvements des sommets Si à la cote z1 pour i variant de 1 à 4. M étant le milieu de (P1,P4), on détermine P5=K1*OM de façon qu'il soit aligné avec S et S5. On fait de même pour P6 avec le même K1 , P7 et P8 avec K2 ce qui assure la plnéité des faces correspondantes. En exprimant les conditions de planéité des faces (P7,P10,P6,P2),(P7,P9,P5,P1), (P8,P10,P6,P3),(P8,P9,P5,P4),(P10,P8,P9,P7), avec un logiciel de calcul formel, on peut déterminer r3,z1,z2,z3 en fonction de (r1,r2,r4,K1,K2).
Données numériques
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